Falls er gar nicht ins Haus soll würde ich ihn direkt im Gartenhaus unterbringen und dann halt öfter am Tag zu ihm gehen und dort etwas Zeit mit ihm verbringen, ruhig mit ihm reden, Leckerlie verteilen, wenn er mitmacht spielen etc. und schauen wie er reagiert. Sollte er sehr scheu sein, dann mach ganz langsam und bedränge ihn auf keinen Fall, wenn er nur ein bisschen scheu ist, dann wird er recht schnell auftauen. Das merkt ihr dann, wenn er da ist.
Je nachdem wie schnell er sich dort sicher fühlt (Euch gegenüber muss er jetzt nicht total zutraulich oder anfassbar sein, aber er sollte auch nicht mehr flüchten oder aggressiv reagieren, wenn ihr rein kommt bzw. mit im Raum seid und sich an sich im Raum ruhig und sicher/entspannt verhalten) würde ich ihn allerdings dann möglichst bald rauslassen. Wie lange das genau dauert, kann Dir keiner vorher sagen, das hängt von zu vielen Faktoren ab, aber grundsätzlich empfehlen sich schon aus dem Grund mindestens 14 Tage, weil Tiere immer noch was "unentdecktes" ausbrüten können, wenn sie aus dem Tierheim kommen und es schon deshalb zum Schutz der Katzen in der Umgebung gut ist, ihn erstmal drin zu behalten.
Die ersten Tage wird das Gartenhaus eh aufregend sein für ihn, neue Umgebung, neue Menschen und er muss ja erstmal alles entdecken und inspizieren. Aber dann wird ihm so allein da drin halt auch schnell langweilig werden, weshalb ich ihn da nicht länger als nötig allein unterbringen würde.
Alternativ könnt ihr in auch bei Euch in der Wohnung eingewöhnen und ihm dann, wenn er raus darf, das Gartenhaus zeigen. Aber dann muss er halt erstmal verstehen, dass dort "sein Raum" ist und dass die Wohnung für ihn nur tagsüber zugänglich ist. Meint: Dann müsst ihr Euch drauf einstellen, dass er erstmal dort wieder rein wollen wird, wo er es vorher gewohnt war raus zu gehen.
Was ich nicht machen würde ist ihn in der Wohnung eingewöhnen und erst kurz bevor er dann raus darf in das Gartenhaus umsetzen, dass wäre für ihn wie nochmal neu eingewöhnen. Wenn dann würde ich ihm das immer wieder tagsüber zeigen, ihn dann dort füttern etc. bis er von sich aus verstanden hat, dass er dort jederzeit rein kommt und alles was er braucht vorfindet. Dann wird er von selbst dort hin gehen, wenn er nicht ins Haus kommt. Ihr müsst dann nur im Zweifel sein Gemaunze eine Zeit lang aushalten können und wenn er das Haus kennt, dann wird er da auch eher reinwollen, wenn er es gar nicht kennt, dann will er da auch nicht so dringend rein.
Ist halt die Frage, ob er nur nachts nicht rein darf oder gar nicht? Wenn er tags ins Haus darf, dann würde ich ihn im Haus eingewöhnen und ihm dann sozusagen seinen Rückzugsort für nachts (da wird er wahrscheinlich eh aktiver sein als am Tag) erst danach zeigen. Dann kann er tags wie gewohnt zu Euch rein kommen, um dort zu chillen und nachts findet er dann halt alles was er braucht im Gartenhaus.
Kennt er denn Katzenklappen? Oder müsst ihr das auch erst mit ihm trainieren?